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\handout{160690220:\hspace{0.08cm}实变函数}{2025 Fall}{Lecture 12: 重积分和累次积分}{Professor:\hspace{0.08cm}\emph{邓桂丰}}{\emph{邓桂丰, AI, 唐嘉琪}}



\section{单调类}

$X$ 是基本空间, $\mathbf{E}$ 是由它的某些子集所成的类. $\mathbf{R}(\mathbf{E})$ 是对代数运算``$\cup$''、``$\cap$''、``$-$''封闭, 且是包含 $\mathbf{E}$ 的最小的类. 为使极限运算封闭, 将 $\mathbf{E}$ 扩写成 $\mathbf{S}(\mathbf{E})$, $\mathbf{S}(\mathbf{E})$ 的结构是复杂的. 这里我们将用单调类概念给出 $\mathbf{S}(\mathbf{E})$ 的某种描述 (单调类的技巧在研究集类对极限运算封闭性中是常用的,我们在这节课中就能有所体会). 

\begin{definition}
设 $\mathbf{M}$ 是由 $X$ 的某些子集所成的集类. 如果对 $\mathbf{M}$ 中任何单调的序列 $\{ E_n \}$, 都有 $\lim\limits_{n \to \infty} E_n \in \mathbf{M}$, 那么称 $\mathbf{M}$ 是单调类. 
\end{definition}

单调类就是对单调序列的极限运算封闭的集类. 当然, 单调类并不必对运算``$\cup$''、``$-$''封闭. 例如 $X$ 是整数直线, $\mathbf{M} = \{ [0,1], [2,3] \}$ 是单调类, 但 $\mathbf{M}$ 对``$\cup$''不封闭, 对``$-$''也不封闭. 

由定义直接可知, 任意个单调类的通集仍是个单调类. 因此, 证明下面的

\begin{theorem}\label{thm2.1.3}
设 $\mathbf{E}$ 是由集 $X$ 的某些子集所成的集类, 那么必有唯一的单调类 $\mathbf{M}$ 使得
\begin{enumerate}
\item\label{thm2.1.3.1} $\mathbf{E} \subseteq \mathbf{M}$
\item\label{thm2.1.3.2} 对于包含 $\mathbf{E}$ 的任何单调类 $\mathbf{M}_1$, 都有 $\mathbf{M}_1 \supseteq \mathbf{M}$. 
\end{enumerate}
\end{theorem}

定理中的 $\mathbf{M}$ 称为由集类 $\mathbf{E}$ 所张成的单调类. 由集类 $\mathbf{E}$ 所张成的单调类用 $\mathbf{M}(\mathbf{E})$ 表示. 

\begin{lemma}\label{2.lemma1}
$\sigma$-环必是单调类, 单调环必是 $\sigma$-环. 
\end{lemma}

\begin{proof}
因为 $\sigma$-环对于可列和及可列通运算都是封闭的, 而单调集列的极限集就是这一列集的和集或通集, 因而 $\sigma$-环必定是单调类. 

另一方面, 如果 $\mathbf{M}$ 是个单调环, 即 $\mathbf{M}$ 既是单调类又是个环, 要证明 $\mathbf{M}$ 是 $\sigma$-环, 显然只要证明 $\mathbf{M}$ 对可列和运算的封闭性. 设 $E_n \in \mathbf{M} (n=1,2,3,\dots)$, 记 $F_n = \bigcup\limits_{i=1}^n E_i$, 由于 $\mathbf{M}$ 是环, 所以 $F_n \in \mathbf{M}$. 而 $\{F_n\}$ 是单调上升的, 因此 $\lim\limits_{n \to \infty} F_n \in \mathbf{M}$, 但
\[
\bigcup\limits_{n=1}^{\infty} E_n = \bigcup\limits_{n=1}^{\infty} F_n = \lim\limits_{n \to \infty} F_n \in \mathbf{M}
\]
所以 $\mathbf{M}$ 对于可列和运算是封闭的, 因此 $\mathbf{M}$ 是 $\sigma$-环. 
\end{proof}

\begin{theorem}\label{thm2.1.4}
设 $\mathbf{R}$ 是由集 $X$ 的子集所成的环, 那么
\[
\mathbf{S}(\mathbf{R}) = \mathbf{M}(\mathbf{R})
\]
\end{theorem}

\begin{proof}
因为 $\mathbf{S}(\mathbf{R})$ 是包含 $\mathbf{R}$ 的 $\sigma$-环, 由引理 \ref{2.lemma1} 它是单调类, 但 $\mathbf{M}(\mathbf{R})$ 是包含 $\mathbf{R}$ 的最小单调类, 所以 $\mathbf{M}(\mathbf{R}) \subseteq \mathbf{S}(\mathbf{R})$.

如果我们能证明 $\mathbf{M}(\mathbf{R})$ 是环, 那么 $\mathbf{M}(\mathbf{R})$ 是个单调环, 由引理 \ref{2.lemma1} 它是 $\sigma$-环. 但 $\mathbf{S}(\mathbf{R})$ 是包含 $\mathbf{R}$ 的最小 $\sigma$-环, 所以就得到 $\mathbf{S}(\mathbf{R}) \subseteq \mathbf{M}(\mathbf{R})$. 这样我们就证明了定理的结论. 

要证明 $\mathbf{M}(\mathbf{R})$ 是环, 就是要证明: 对任何 $E, F \in \mathbf{M}(\mathbf{R})$, $E - F, F - E, F \cup E$ 都必属于 $\mathbf{M}(\mathbf{R})$. 先假定 $E, F$ 中有一个, 例如 $E$ 是属于 $\mathbf{R}$ 的情况下来证明. 

对任何集 $A \subseteq X$, 作类
\[
\mathbf{K}(A) = \{ B \mid B \in \mathbf{M}(\mathbf{R}), \text{而且 } A - B, B - A, A \cup B \text{ 均属于 } \mathbf{M}(\mathbf{R}) \}
\]

先证 $\mathbf{K}(A)$ 是单调类. 事实上, 设 $\{ B_n \}$ 是 $\mathbf{K}(A)$ 中的任一单调序列, 因为 $B_n - A, A - B_n, A \cup B_n$ 均属于 $\mathbf{M}(\mathbf{R})$, 且也是单调的序列, 利用极限运算能与``$\cup$''、``$-$''可交换, 即
\[
\lim\limits_{n \to \infty} (B_n - A) = \lim\limits_{n \to \infty} B_n - A, \quad \lim\limits_{n \to \infty} (A - B_n) = A - \lim\limits_{n \to \infty} B_n,\quad
\lim\limits_{n \to \infty} (A \cup B_n) = A \cup \lim\limits_{n \to \infty} B_n
\]
易知 $\lim\limits_{n \to \infty} B_n - A, \lim\limits_{n \to \infty} B_n \cup A, A - \lim\limits_{n \to \infty} B_n$ 均属于 $\mathbf{M}(\mathbf{R})$, 所以 $\lim\limits_{n \to \infty} B_n \in \mathbf{K}(A)$. 

特别, 取 $A = E \subseteq \mathbf{R}$ 时, 显然 $\mathbf{R} \subseteq \mathbf{K}(E) \subseteq \mathbf{M}(\mathbf{R})$, 又因为 $\mathbf{K}(E)$ 是包含 $\mathbf{R}$ 的单调类, 从而 $\mathbf{M}(\mathbf{R}) \subseteq \mathbf{K}(E)$, 因此 $\mathbf{M}(\mathbf{R}) = \mathbf{K}(E)$. 

$\mathbf{M}(\mathbf{R}) = \mathbf{K}(E)$ 表示: 当 $E \subseteq \mathbf{R}$ 时, 对任何 $F \in \mathbf{M}(\mathbf{R})$, 总有 $F - E, E - F, E \cup F$ 等均属于 $\mathbf{M}(\mathbf{R})$.

对任何 $E \subseteq \mathbf{M}(\mathbf{R})$, 根据上面的证明, 当 $F \subseteq \mathbf{R}$ 时, $E - F, F - E, E \cup F$ 均属于 $\mathbf{M}(\mathbf{R})$, 从而 $\mathbf{R} \subseteq \mathbf{K}(E) \subseteq \mathbf{M}(\mathbf{R})$. 但 $\mathbf{K}(E)$ 是单调类, 所以 $\mathbf{K}(E) = \mathbf{M}(\mathbf{R})$, 即 $\mathbf{M}(\mathbf{R})$ 是环. 
\end{proof}

\begin{corollary}\label{coro2.1.4}
设 $\mathbf{M}, \mathbf{R}$ 是 $X$ 上的两个集类, 如果 $\mathbf{M}$ 是单调类, $\mathbf{R}$ 是环, 并且 $\mathbf{M} \supseteq \mathbf{R}$, 那么 $\mathbf{M} \supseteq \mathbf{S}(\mathbf{R})$.
\end{corollary}

\begin{proof}
由定理 \ref{thm2.1.4}, $\mathbf{M}(\mathbf{R}) = \mathbf{S}(\mathbf{R})$, 所以 $\mathbf{M} \supseteq \mathbf{M}(\mathbf{R}) = \mathbf{S}(\mathbf{R})$.
\end{proof}

在这一节里, 我们将建立重积分概念, 并研究重积分和累次积分的关系, 以及累次积分中交换积分顺序的问题. 不失一般性, 只要讨论二重积分和二次积分就够了. 为此, 我们先建立乘积测度. 

\section{乘积空间}

设 $X, Y$ 是任何两个集, 一切有序的点对 $(x, y), x \in X, y \in Y$ 全体组成的集, 记为 $X \times Y$, 称它为空间 $X, Y$ 的\textbf{乘积空间} (又称为 Cartesian 乘积) . 例如实平面 $\mathbb E^2$ 就可以看成实数直线 $\mathbb E^1$ 和 $\mathbb E^1$ 的乘积空间, $\mathbb E^2 = \mathbb E^1 \times \mathbb E^1$. 为了今后叙述方便起见, 我们引入一些术语: 设 $A \subseteq X, B \subseteq Y$, 称 $A \times B$ 是 $X \times Y$ 中的``矩形'', $A, B$ 称为矩形 $A \times B$ 的``边''. 

\begin{theorem}\label{thm3.5.1}
如果 $\mathbf S,\mathbf T$ 分别是 $X, Y$ 的某些子集构成的环, 那么, 由各式各样有限个互不相交的矩形 $A \times B(A \in\mathbf S, B \in\mathbf T)$ 的和集所组成的 $X \times Y$ 的子集类 $\mathbf R$ 是环. 
\end{theorem}

\begin{proof}
首先由 $\mathbf R$ 的定义, 知道 $\mathbf R$ 中任何有限个互不相交的集的和集属于 $\mathbf R$. 只要证明 $\mathbf R$ 中任何两个集的差也属于 $\mathbf R$ 就可以了. 记 $\mathbf P = \{ A \times B \mid A \in \mathbf S, B \in \mathbf T \}$, 对任何 $E_i = A_i \times B_i \in \mathbf P, i = 1, 2$, 由于 $\mathbf S,\mathbf T$ 是环, 而且
\[
E_1 \cap E_2 = (A_1 \cap A_2) \times (B_1 \cap B_2)
\]
立即知道 $E_1 \cap E_2 \in\mathbf R$. 由此可知 $\mathbf R$ 中任何两个集 $\bigcup\limits_{i=1}^{m} E_i, \bigcup\limits_{j=1}^{n} F_j$ 的通集 $\bigcup\limits_{i,j}^{mn}(E_i \cap F_j) \in\mathbf R$. 因而 $\mathbf R$ 中有有限个集的通集也属于 $\mathbf R$. 又因为
\[
A_1 \times B_1 - A_2 \times B_2 = [(A_1 \cap A_2) \times (B_1 - B_2)] \cup [(A_1 - A_2) \times B_1]
\]
所以 $P$ 中任何两个集的差属于 $\mathbf R$. 对 $\mathbf R$ 中任何两个集 $$\bigcup\limits_{i=1}^{m} E_i(E_i \cap E_j = \varnothing, i \neq j, E_i \in\mathbf P),\quad \bigcup\limits_{j=1}^{n} F_j(F_j \cap F_k = \varnothing, j \neq k, F_j \in\mathbf P)$$ 有
\[
\bigcup\limits_{i=1}^{m} E_i - \bigcup\limits_{j=1}^{m} F_j = \bigcup\limits_{i=1}^{m} \bigcap\limits_{j=1}^{m} (E_i - F_j)
\]
由上所述, $E_i - F_j \in \mathbf{R}$, 因而有限个通 $\bigcap\limits_{j=1}^{m} (E_i - F_j) \in \mathbf{R}$, 并且 $\left\{ \bigcap\limits_{i=1}^{m} (E_i - F_j) \right\}$ 是互不相交的, 所以 $\bigcup\limits_{i=1}^{m} E_i - \bigcup\limits_{j=1}^{m} F_j \in \mathbf{R}$.
\end{proof}

把定理 \ref{thm3.5.1} 中的环记为 $\widehat{\mathbf S \times \mathbf T}$. 

\begin{definition}
设 $(X,\mathbf S), (Y,\mathbf T)$ 是两个可测空间, 记 $\mathbf P = \{ A \times B \mid A \in\mathbf S, B \in\mathbf T \}$, 而用 $\mathbf S \times\mathbf T$ 表示包含 $\mathbf P$ 的最小 $\sigma$-环, 称 $(X \times Y,\mathbf S \times\mathbf T)$ 为 $(X, \mathbf S), (Y,\mathbf T)$ 的\textbf{乘积 (可测) 空间}, 称 $\mathbf P$ 中的集为\textbf{可测矩形}. 
\end{definition}

\begin{corollary}\label{coro3.5.1}
设 $(X,\mathbf S), (Y,\mathbf T)$ 是两个可测空间, 那么
\begin{equation}
	\mathbf{S}(\widehat{\mathbf S \times \mathbf T}) = \mathbf{S}(\mathbf P) =\mathbf S \times\mathbf T \label{3.5.1}
\end{equation}
\end{corollary}

\begin{proof}
由定理 \ref{thm3.5.1}, 环 $\widehat{\mathbf S \times \mathbf T}$ 是包含 $\mathbf P$ 的最小环, 所以 $\widehat{\mathbf S \times \mathbf T} \subseteq \mathbf{S}(\mathbf P)$, 因而 $\mathbf{S}(\widehat{\mathbf S \times \mathbf T}) \subseteq \mathbf{S}(\mathbf P)$. 另一方面, 由于 $\widehat{\mathbf S \times \mathbf T} \supseteq\mathbf P$, 所以又有 $\mathbf{S}(\widehat{\mathbf S \times \mathbf T}) \supseteq \mathbf{S}(\mathbf P)$. 从而 $\mathbf{S}(\widehat{\mathbf S \times \mathbf T}) = \mathbf{S}(\mathbf P)$. 
\end{proof}

\section{截口}

设 $(X,\mathbf S), (Y,\mathbf T)$ 是可测空间, $(X \times Y,\mathbf S \times\mathbf T)$ 是它们的乘积空间. 如果 $E$ 是 $X \times Y$ 的一个子集, 称集 $E_x = \{ y \mid (x, y) \in E \}$ 为被 $x$ 决定的\textbf{ $E$ 的截口}, 它有时也写成 $S_x E$ (注意, 对每个 $x$ 来说, $E_x$ (或 $S_x E$) 是 $Y$ 的子集, 并不是 $X \times Y$ 的子集) . $E_x$ 有时也说成 $x$-截口. 同样集 $S^y E = E^y = \{ x \mid (x, y) \in E \}$ 是 $y$-截口. 

如果 $f$ 是定义在 $X \times Y$ 的子集 $E$ 上的函数, 当固定 $x \in X$ 时, 如果 $E_x$ 不是空集, 称定义在 $E_x$ 上的函数
\[
f_x(y) = f(x, y)
\]
为 \textbf{$f$ (被 $x$ 决定) 的截口}. 类似地, 当固定 $y \in Y$, 如果 $E^y$ 不空, 称定义在 $E^y$ 上的函数
\[
f^y(x) = f(x,y)
\]
为 $f$ (被 $y$ 决定) 的截口. 

\begin{theorem}\label{thm3.5.2}
在乘积可测空间 $(X \times Y,\mathbf S \times\mathbf T)$ 上, 可测集的截口是可测的, 可测函数的截口是可测的. 
\end{theorem}

\begin{proof}
令 $\mathbf{E}$ 是由 $X \times Y$ 中每个 $x$-截口和 $y$-截口都是可测的集 $\mathbf E$ 所组成的一个类. 注意``求截口''运算满足下列规则: 
\begin{enumerate}%[label=(\roman*)]
\item 对任何一族集 $\{E_\lambda, \lambda \in \Lambda\} (E_\lambda \subseteq X \times Y)$, 以及任何 $x_0 \in X$, 
\[
\left( \bigcup\limits_{\lambda \in \Lambda} E_\lambda \right)_{x_0} = \bigcup\limits_{\lambda \in \Lambda} E_{\lambda x_0}
\]
\item 对任何 $E, F \subseteq X \times Y$, 以及任何 $x_0 \in X$, 
\[
(E - F)_{x_0} = E_{x_0} - F_{x_0}
\]
\end{enumerate}
由此, 容易证明 $\mathbf{E}$ 是 $\sigma$-环, 显然 $\mathbf P \subseteq \mathbf{E}$, 由系知 $\mathbf S \times\mathbf T \subseteq \mathbf{E}$. 因此, $\mathbf S \times\mathbf T$ 中每个元素的截口都是可测的. 

设 $\mathbf E \in\mathbf S \times\mathbf T$, $f$ 是 $E$ 上可测函数, 对任何数 $c$ 和任何给定的 $x_0 \in X$, 
\begin{align*}
	E_{x_0}(f_{x_0} > c)&= \{y \mid f_{x_0}(y) > c, y \in E_{x_0}\} = \{y \mid f(x_0, y) > c, (x_0, y) \in E\} \\
	&= \{y \mid (x_0, y) \in E(f > c)\} = S_{x_0} E(f > c),
\end{align*}
由于 $\mathbf E(f > c)$ 是可测集, 所以它的截口 $S_{x_0} E(f > c)$ 是 $(Y,\mathbf T)$ 上可测集, 即 $f_{x_0}$ 是集 $E_{x_0}$ 上 $y$ 的可测函数. 类似可以证明 $f^y$ 是 $E^y$ 上 $x$ 的可测函数. 
\end{proof}

\section{乘积测度}

设空间 $(X,\mathbf S, \mu), (Y,\mathbf T, \nu)$ 是测度空间, 在这段里的目标是由它们建立 $(X \times Y,\mathbf S \times\mathbf T)$ 上的乘积测度``$\mu \times \nu$''. 为此我们先证明一个引理. 

\begin{lemma}\label{lemma1}
设 $(X,\mathbf S, \mu), (Y,\mathbf T, \nu)$ 是两个全有限的测度空间, 如果 $E$ 是 $(X \times Y,\mathbf S \times\mathbf T)$ 的可测子集, 那么 $\nu(E_x)$ 和 $\mu(E^y)$ 分别是 $(X, \mathbf S, \mu), (Y,\mathbf T, \nu)$ 上的可测函数, 而且
\begin{equation}
	\int_X \nu(E_x) \mathrm d\mu = \int_Y \mu(E^y) \mathrm d\nu \label{3.5.2}
\end{equation}
\end{lemma}

\begin{proof}
令 $\mathbf{M}$ 是使 $\nu(E_x), \mu(E^y)$ 为可测函数, 并且 \eqref{3.5.2} 成立的 $\mathbf S \times\mathbf T$ 中可测集 $E$ 的全体所成的类. 今证 $\mathbf{M} =\mathbf S \times\mathbf T$. 

当 $\mathbf E = A \times B \subseteq\mathbf P$ 时, 由于
\[
E_x =
\begin{cases}
B, & x \in A \\
\varnothing, & x \notin A
\end{cases}
\]
显然 $\nu(E_x) = \nu(B) \cdot \chi_A(x)$, 此地 $\chi_A$ 为集 $A$ 的特征函数. 类似地 $\mu(E^y) = \mu(A) \cdot \chi_B(y)$. 因为 $\mu, \nu$ 是全有限的, 所以 $\mathbf S,\mathbf T$ 必是 $\sigma$-代数, 所以 $\nu(E_x), \mu(E^y)$ 分别是 $(X,\mathbf S), (Y,\mathbf T)$ 的可测函数. 而且
\[
\int_X \nu(E_x) \mathrm d\mu = \mu(A) \nu(B) = \int_Y \mu(E^y) \mathrm d\nu
\]
因此 $E \in \mathbf{M}$. 从而 $\mathbf P \subseteq \mathbf{M}$. 

再证 $\mathbf{M}$ 是包含环 $\mathbf R$ 的单调类: 如果 $E_1, \dots, E_n \in \mathbf{M}, E_i \cap E_j = \varnothing, i \neq j$. 记 $E = \bigcup\limits_{j=1}^n E_j$, 显然 $E_x = \bigcup\limits_{j=1}^n E_{jx}, E_{jx} \cap E_{ix} = \varnothing, i \neq j$. 因此
\[
\nu(E_x) = \sum\limits_{j=1}^n \nu(E_{jx})
\]
类似地, $\mu(E^y) = \sum\limits_{j=1}^n \mu(E_j^y)$. 由积分的线性容易知道 $E \in \mathbf{M}$. 再根据 $\mathbf P \subseteq \mathbf{M}$, 便得到 $\mathbf R \subseteq \mathbf{M}$ (因为 $R$ 中的每个集必可表示成 $P$ 中有有限个互不相交的集的和) . 

下面再证 $\mathbf{M}$ 是单调类. 设 $E_1 \subseteq E_2 \subseteq \cdots \subseteq E_n \subseteq \cdots$ 是 $\mathbf{M}$ 中一列单调增加集, 记 $E = \bigcup\limits_{n=1}^{\infty} E_n$, 由于 $E_{1x} \subseteq E_{2x} \subseteq \cdots \subseteq E_{nx} \subseteq \cdots, E_x = \bigcup\limits_{n=1}^{\infty} E_{nx}$, 所以 $\nu(E_x) = \lim\limits_{n \to \infty} \nu(E_{nx})$. 又因为 $\{\nu(E_{nx}), n=1,2,\dots\}$ 是 $(X,\mathbf S,\mu)$ 上的可积函数的单调序列, 并且
\[
\int_X \nu(E_{nx}) \mathrm d\mu \leqslant \int_X \nu(Y) \mathrm d\mu = \nu(Y) \mu(X) < \infty
\]
由 Levi 引理, $\nu(E_x)$ 是可积函数, 且
\begin{equation}
	\lim\limits_{n \to \infty} \int_X \nu(E_{nx}) \mathrm d\mu = \int_X \nu(E_x) \mathrm d\mu \label{3.5.3}
\end{equation}
对 $\mu(E^y)$ 也进行类似讨论, 有
\begin{equation}
	\lim\limits_{n \to \infty} \int_Y \mu(E_n^y) \mathrm d\nu = \int_Y \mu(E^y) \mathrm d\nu \label{3.5.4}
\end{equation}
从假设
\[
\int_X \nu(E_{nx}) \mathrm d\mu = \int_Y \mu(E_n^y) \mathrm d\nu
\]
并根据 \eqref{3.5.3}、\eqref{3.5.4} 便知
\[
\int_X \nu(E_x) \mathrm d\mu = \int_Y \mu(E^y) \mathrm d\nu
\]
因此 $E \in \mathbf{M}$. 类似地, 当 $E_1 \supseteq E_2 \supseteq \cdots \supseteq E_n \supseteq \cdots$ 时, 集 $\bigcap\limits_{n=1}^{\infty} E_n \in \mathbf{M}$. 根据推论 \ref{coro2.1.4} 可知 $\mathbf S \times\mathbf T \subseteq \mathbf{M}$. 从而 $\mathbf S \times\mathbf T = \mathbf{M}$.
\end{proof}

\begin{corollary}\label{corolemma1}
设 $(X,\mathbf S,\mu),(Y,\mathbf T,\nu)$ 是两个测度空间, $E_0 = A_0 \times B_0(A_0 \in \mathbf S,B_0 \in\mathbf  T)$, 而且 $\mu(A_0) < \infty, \nu(B_0) < \infty$. 那么, 当 $E \in\mathbf S \times\mathbf T$, 而且 $E \subseteq E_0$ 时, 函数 $\nu(E_x), \mu(E^y)$ 分别是 $A_0, B_0$ 上可测函数\footnote{如果 $\mathbf S,\mathbf T$ 是 $\sigma$-代数, 那么 $\mu(E^y), \nu(E_x)$ 分别是 $Y, X$ 上可测函数.}, 并且
\begin{equation}
	\int_{A_0} \nu(E_x) \mathrm d\mu = \int_{B_0} \mu(E^y) \mathrm d\nu \label{5.2'}
\end{equation}
\end{corollary}

\begin{proof}
对任何 $A \in\mathbf S, B \in\mathbf T$, 先证等式 $\mathbf S \times\mathbf T \cap A \times B = (\mathbf S \cap A) \times (\mathbf T \cap B)$. 

记 $\mathbf S \times\mathbf T$ 的可测矩形全体为 $P$, $(S \cap A) \times (T \cap B)$ 的可测矩形全体为 $\mathbf Q$. 因为 $\mathbf S \cap A \subseteq\mathbf S,\mathbf T \cap B \subseteq\mathbf T$, 显然, 当 $E \times F \in\mathbf Q$ 时, $E \subseteq A, F \subseteq B$, 且 $E \in\mathbf S, F \in\mathbf T$, 所以 $E \times F \in\mathbf S \times\mathbf T \cap A \times B$, 即 $\mathbf Q \subseteq\mathbf S \times\mathbf T \cap A \times B$. 但 $\mathbf S \times\mathbf T \cap A \times B$ 是 $A \times B$ 上 $\sigma$-代数, 所以 $(\mathbf S \cap A) \times (\mathbf T \cap B) = \mathbf{S}(\mathbf Q) \subseteq\mathbf S \times\mathbf T \cap A \times B$. 反之, 对任何 $E \times F \in\mathbf P$, 因为 $(E \times F) \cap (A \times B) = (E \cap A) \times (F \cap B) \in\mathbf Q$, 所以 $\mathbf P \cap A \times B \subseteq (\mathbf S \cap A) \times (\mathbf T \cap B)$. 记 $\mathbf{M}$ 为 $\mathbf S \times\mathbf T$ 中一切 $\mathbf M \cap A \times B \in (\mathbf S \cap A) \times (\mathbf T \cap B)$ 的 $\mathbf M$ 全体, 显然 $\mathbf{M}$ 是 $\sigma$-环, 并且 $\mathbf{M} \supseteq\mathbf P$. 所以 $\mathbf{M} =\mathbf S \times\mathbf T$, 即 $\mathbf S \times\mathbf T \cap A \times B \subseteq (\mathbf S \cap A) \times (\mathbf T \cap B)$. 从而 $\mathbf S \times\mathbf T \cap A \times B = (\mathbf S \cap A) \times (\mathbf T \cap B)$. 

作 $(A_0,\mathbf S \cap A_0),(B_0,\mathbf T \cap B_0)$ 上测度
\begin{align*}
	\mu_{A_0}(A) &= \mu(A), \quad A \in\mathbf S \cap A_0\\
\nu_{B_0}(B) &= \nu(B), \quad B \in\mathbf T \cap B_0
\end{align*}
对 $(A_0,\mathbf S \cap A_0,\mu_{A_0}),(B_0,\mathbf T \cap B_0,\nu_{B_0})$ 用引理, 对任何 $E \in\mathbf S \times\mathbf T \cap A \times B$, 有
\[
\int_{A_0} \nu(E_x) \mathrm d\mu = \int_{A_0} \nu_{B_0}(E_x) \mathrm d\mu_{A_0} = \int_{B_0} \mu_{A_0}(E^y) \mathrm d\nu_{B_0} = \int_{B_0} \mu(E^y) \mathrm d\nu
\]
\end{proof}

利用引理 \ref{lemma1} 及其推论 \ref{corolemma1}, 给出乘积测度的定义. 

\begin{definition}
设 $(X,\mathbf S,\mu),(Y,\mathbf T,\nu)$ 是两个 $\sigma$-有限的测度空间, 作乘积可测空间 $(X \times Y,\mathbf S \times\mathbf T)$ 上集函数 $\lambda$ 如下: 如果 $E \in\mathbf S \times\mathbf T$ 而且有矩形 $A \times B \in\mathbf S \times\mathbf T$, $\mu(A) < \infty$, $\nu(B) < \infty$ 使 $E \subseteq A \times B$ 时, 规定
\begin{equation}
\lambda(E) = \int_A \nu(E_x) \mathrm d\mu = \int_B \mu(E^y) \mathrm d\nu \label{3.5.5}	
\end{equation}
对一般的 $E \in\mathbf S \times\mathbf T$, 必有一列矩形\footnote{这列矩形的存在性见下面定理 \ref{thm3.5.3} 的证明.} $E_n \in\mathbf S \times\mathbf T$, $E_n = A_n \times B_n$, $\mu(A_n) < \infty$, $\nu(B_n) < \infty$, $E_1 \subseteq E_2 \subseteq \cdots \subseteq E_n \subseteq \cdots$, 使 $E \subseteq \bigcup\limits_{n=1}^\infty E_n$. 这时定义
\begin{equation}
	\lambda(E) = \lim\limits_{n \to \infty} \lambda(E \cap E_n) \label{3.5.6}
\end{equation}
那么 $\lambda$ 是 $(X \times Y,\mathbf S \times\mathbf T)$ 上的 $\sigma$-有限测度 (见定理 \ref{thm3.5.3}) . 称它为 $\mu$ 和 $\nu$ 的\textbf{乘积测度}, 记为 $\mu \times \nu$. 
\end{definition}

\begin{theorem}\label{thm3.5.3}
设 $(X,\mathbf S, \mu), (Y,\mathbf T, \nu)$ 是 $\sigma$-有限测度空间, 那么由 \eqref{3.5.5}、\eqref{3.5.6} 规定的集函数 $\lambda$ 是 $(X \times Y,\mathbf S \times\mathbf T)$ 上的 $\sigma$-有限测度. 而且是在 $(X \times Y,\mathbf S \times\mathbf T)$ 上满足条件
\begin{equation}
	\lambda(A \times B) = \mu(A) \nu(B), \quad A \in S, B \in T \label{3.5.7}
\end{equation}
的唯一的 $\sigma$-有限测度. 
\end{theorem}

\begin{proof}
分成下面几步: 
\begin{enumerate}
	\item 先证唯一性. 如果有两个 $\sigma$-有限测度 $\lambda, \lambda^{\prime}$ 在 $\mathbf P$ 上都满足 \eqref{3.5.7}, 即对一切 $E \in\mathbf P$, $\lambda(E) = \lambda^{\prime}(E)$. 因为 $\lambda, \lambda^{\prime}$ 都具有可列可加性, 所以在 $\mathbf{S}(\mathbf P)$ 上 $\lambda = \lambda^{\prime}$. 根据有关 $\sigma$ 有限测度唯一性定理, 立即得到 $\lambda$ 和 $\lambda^{\prime}$ 在 $\mathbf{S}(\mathbf{R}(\mathbf P)) =\mathbf S \times\mathbf T$ 上一致.
	\item 在 $\mu(X) < \infty, \nu(Y) < \infty$ (即 $(X,\mathbf S, \mu), (Y,\mathbf T, \nu)$ 都是全有限测度空间) 情况下证明 $\lambda$ 是测度: 显然 $\lambda$ 是 $\mathbf S \times\mathbf T$ 上非负的, 今只要证 $\lambda(E)$ 具有可列可加性. 设 $F_n \in\mathbf S \times\mathbf T, n = 1, 2, \dots$, 而且 $F_n \cap F_{n^{\prime}} = \varnothing, n \neq n^{\prime}$, 记 $E_n = \bigcup\limits_{j=1}^n F_j$. 由于 $E_{nx} = \bigcup\limits_{j=1}^n F_{jx}$ 以及积分的可加性得到
\[
\lambda(E_n) = \int_X \nu(E_{nx}) \mathrm d\mu = \int_X \sum\limits_{j=1}^n \nu(F_{jx}) \mathrm d\mu = \sum\limits_{j=1}^n \lambda(F_j)
\]
记 $E = \bigcup\limits_{j=1}^\infty F_j$, 再根据 \eqref{3.5.3}, 又得到
\begin{align*}
	\lambda(E) &= \int_X \nu(E_x) \mathrm d\mu = \int_X \sum\limits_{j=1}^\infty \nu(F_{jx}) \mathrm d\mu \\
	&= \lim\limits_{n \to \infty} \int_X \sum\limits_{j=1}^n \nu(F_{jx}) \mathrm d\mu = \lim\limits_{n \to \infty} \sum\limits_{j=1}^{n} \lambda(F_j) = \sum\limits_{j=1}^{\infty} \lambda(F_j)
\end{align*}
即 $\lambda$ 是可列可加的.
\end{enumerate}
下面对 $\mu, \nu$ 为 $\sigma$-有限的情况加以证明. 
\begin{enumerate}\setcounter{enumi}{2}
	\item 设 $E \in\mathbf S \times\mathbf T$, 并且存在边是测度有限的矩形 $A \times B, C \times D$, 使得 $E \subseteq A \times B, E \subseteq C \times D$. 那么, 对任何 $(x, y) \in E$, 必有 $x \in A \cap C, y \in B \cap D$. 从而 $E \subseteq A_0 \times B_0$, 这里 $A_0 = A \cap C, B_0 = B \cap D$. 利用这一点, 证明对于这种 $E, \lambda(E)$ 不依赖 $A \times B, C \times D$ 的选取: 事实上, 因为当 $x \in (A - A_0) \cup (C - A_0)$ 时, $\nu(E_x) = 0$, 所以
\[
\lambda(E) = \int_A \nu(E_x) \mathrm d\mu = \int_{A_0} \nu(E_x) \mathrm d\mu = \int_C \nu(E_x) \mathrm d\mu
\]
同样, 
\[
\lambda(E) = \int_B \mu(E^y) \mathrm d\nu = \int_{B_0} \mu(E^y) \mathrm d\nu = \int_D \mu(E^y) \mathrm d\nu
\]
	\item 证明对任何 $E \in\mathbf S \times\mathbf T$, 它必包含在边是测度有限的矩形单调序列 $\{E_n\}$ 中. 事实上, 如果 $E \in\mathbf P, E = A \times B, A \in S, B \in T$, 这时由 $(X, S, \mu), (Y, T, \nu)$ 的 $\sigma$-有限性, 必有 $(A_n) \subseteq\mathbf S, \mu(A_n) < \infty, \{B_n\} \subseteq\mathbf T, \nu(B_n) < \infty$, 使 $A \subseteq \bigcup\limits_{n=1}^{\infty} A_n, B \subseteq \bigcup\limits_{n=1}^{\infty} B_n$. 取 $E_n = \left( \bigcup\limits_{i=1}^{n} A_i \right) \times \left( \bigcup\limits_{i=1}^{n} B_i \right)$, 那么 $\{E_n\}$ 便是边是测度有限的矩形单调序列, 而且 $E \subseteq \bigcup\limits_{n=1}^{\infty} E_n$. 对于一般的 $E \in\mathbf S \times\mathbf T$, 由于 $\mathbf S \times\mathbf T = \mathbf{S}(\mathbf P)$, 所以必有 $\mathbf P$ 中的单调序列 $\{F_n\}$, 使得 $E \subseteq \bigcup\limits_{n=1}^{\infty} F_n = \lim\limits_{n \to \infty} F_n$. 而每个 $F_n$, 根据前面已经证明, 有边是测度有限的矩形单调序列 $\{E_{nk}\}$, $\bigcup\limits_{k=1}^{\infty} E_{nk} \supseteq F_n$. 记 $E_{nk} = A_{nk} \times B_{nk}$, 如果取
\[
E_n = \left( \bigcup\limits_{i,j=1}^{n} A_{ij} \right) \times \left( \bigcup\limits_{i,j=1}^{n} B_{ij} \right)
\]
那么 $\{E_n\}$ 便是边是测度有限的矩形单调序列, 并且 $\bigcup\limits_{n=1}^{\infty} E_n \supseteq E$. 这说明定义中的矩形序列确实存在. 容易看出 $\lambda(E_n \cap E)$ 是单调增加数列, 因此 \eqref{3.5.6} 中极限存在 (可以允许是 $\infty$) . 
	\item 证极限与矩形序列的选取无关, 事实上, 如果另有一列边是测度有限的矩形单调序列 $\{F_n\}$, $\bigcup\limits_{n=1}^{\infty} F_n \supseteq E$, $F_n = C_n \times D_n$. 记 $\lambda^{\prime}(E) = \lim\limits_{n \to \infty} \lambda(E \cap F_n)$. 由于 $E \cap F_n = \lim\limits_{m \to \infty} (E \cap E_m) \cap F_n$, 所以
\[
\lambda(E \cap F_n) = \lim\limits_{m \to \infty} \lambda(E \cap E_m \cap F_n) \leqslant \lim\limits_{m \to \infty} \lambda(E \cap E_m)
\]
即 $\lambda(E \cap F_n) \leqslant \lambda(E)$, 再令 $n \to \infty$ 就得到 $\lambda^{\prime}(E) \leqslant \lambda(E)$. 如果将 $\{E_n\}$ 和 $\{F_n\}$ 的位置对调就得到 $\lambda(E) \leqslant \lambda^{\prime}(E)$. 因此 \eqref{3.5.6} 唯一地确定了 $\lambda(E)$ 的值. 
	\item 证 $\lambda$ 是可列可加的测度. 因为极限具有可加性, 所以通过极限定义的 $\lambda$ 具有有限可加性. 任取 $\{F_n\} \subseteq\mathbf S \times\mathbf T$, $F_n \cap F_m = \varnothing (n \ne m)$, 记 $E = \bigcup\limits_{n=1}^{\infty} F_n$, 由 $\lambda$ 的非负、有限可加性 (因而有单调性) , 显然 $\lambda(E) \geqslant \sum\limits_{1}^{n} \lambda(F_j)$, 令 $n \to \infty$, 得到
\[
\lambda(E) \geqslant \sum\limits_{j=1}^{\infty} \lambda(F_j)
\]
另一方面, 按定义, $\lambda(E) = \lim\limits_{n \to \infty} \lambda(E \cap E_n)$. 然而对每个 $n$, 由于
\begin{align*}
	\lambda(E \cap E_n) &= \lambda\left( (E \cap E_n) \cap \left( \bigcup\limits_{j=1}^{\infty} F_j \right) \right) \leqslant \lambda\left( E_n \cap \left( \bigcup\limits_{j=1}^{\infty} F_j \right) \right) \\
	&= \lambda\left( \bigcup\limits_{j=1}^{\infty} (F_j \cap E_n) \right) = \sum\limits_{j=1}^{\infty} \lambda (F_j \cap E_n) \leqslant \sum\limits_{j=1}^{\infty} \lambda (F_j)
\end{align*}
令 $n \rightarrow \infty$, 又得到 $\lambda (E) \leqslant \sum\limits_{j=1}^{\infty} \lambda (F_j)$. 因此 $\lambda (E) = \sum\limits_{j=1}^{\infty} \lambda (F_j)$, 所以 $\lambda$ 是可列可加的 $\sigma$-有限测度.
\end{enumerate}
\end{proof}

以后我们所讨论的乘积测度空间 $(X \times Y,\mathbf S \times\mathbf T, \mu \times \nu)$ 都是指出 $\sigma$-有限的测度空间 $(X,\mathbf S, \mu)、(Y,\mathbf T, \nu)$ 所产生的 $\sigma$-有限的乘积测度空间. 

\section{Fubini定理}

现在讨论重积分和累次积分的关系以及累次积分的交换顺序问题. 

设 $(X,\mathbf S, \mu)、(Y,\mathbf T, \nu)$ 是两个 $\sigma$-有限测度空间, $(X \times Y, \mathbf S \times\mathbf T, \mu \times \nu)$ 是它们的乘积测度空间. 假设 $E \in\mathbf S \times\mathbf T, E = A \times B, A \in\mathbf S, B \in\mathbf T$. 又设 $f$ 是定义在 $E$ 上的函数, 如果 $f$ 是 $E$ 上关于 $\mu \times \nu$ 是可积的, 积分
\[
\int_E f(x,y) \mathrm d\mu \times \nu(x,y)
\]
就称做 $f$ 在 $E$ 上的\textbf{重积分}, 其实, 它不过是测度空间 $(X \times Y,\mathbf S \times\mathbf T, \mu \times \nu)$ 上的积分. 积分号中 $ \mathrm d\mu \times \nu(x,y)$ 常简写为 $\mathrm d\mu \times \nu$. 积分前特别冠以``重''字是表明它是相对于下面的二次积分 (又称累次积分) 所讲的. 如果存在一个 $\nu$-零集 $B_0 \subseteq B$, 当 $y \in B - B_0$ 时, $f^y(x)$ 在 $A$ 上关于 $\mu$ 是可积的, 记
\begin{equation}
	h(y) = \int_A f^y(x) \mathrm d\mu(x), \quad y \in B - B_0 \label{3.5.8}
\end{equation}
如果又存在 $B$ 上的可积 (关于 $\nu$) 函数 $\tilde{h}(y)$, 使得 $h(y)$ 与 $\tilde{h}(y)$ 在 $B - B_0$ 上几乎处处 (关于 $\nu$) 相等, 那么 (在多元积分中) 就称
\[
{h}(y) = \int_A f^y(x) \mathrm d\mu(x)
\]
是 $B$ 上可积函数, 并规定 $\int_B \tilde{h}(y) \mathrm d\nu(y) = \int_{B} h(y) \mathrm d\nu(y)$ (即不区分 $h(y)$ 和 $\tilde{h}(y)$) , 这就是说, 
\begin{equation}
	\int_{B} \tilde{h}(y) \mathrm d\nu(y) = \iint\limits_{B A} f \mathrm d\mu \mathrm d\nu = \int_{B} \left( \int_{A} f(x,y) \mathrm d\mu(x) \right) \mathrm d\nu(y) \label{3.5.9}
\end{equation}
积分 $\iint\limits_{B A} f \mathrm d\mu \mathrm d\nu$ 称做 $f$ 在 $E$ 上的二次积分. 类似地定义
\begin{equation}
	\iint\limits_{A B} f \mathrm d\nu \mathrm d\mu = \int_{A} \left( \int_{B} f(x,y) \mathrm d\nu(y) \right) \mathrm d\mu(x) \label{3.5.10}
\end{equation}
它也是 $f$ 在 $E$ 上的二次积分. 

显然, 这里的重积分和二次积分概念是普通数学分析中的重积分和二次积分概念的一般化. 

\begin{theorem}[Fubini]\label{thm3.5.4}
设 $E$ 是 $(X \times Y,\mathbf S \times\mathbf T, \mu \times \nu)$ 上的 $\sigma$-有限的可测矩形 $E = A \times B$, $f$ 是 $E$ 上的有限函数. 
\begin{enumerate}
	\item\label{thm3.5.4.1} 当 $f$ 是 $E$ 上关于 $\mu \times \nu$ 可积函数时, 那么 $f$ 在 $E$ 上的两个二次积分 \eqref{3.5.9}、\eqref{3.5.10} 存在, 并且
	\begin{equation}
		\int_{E} f \mathrm d\mu \times \nu = \iint\limits_{A B} f \mathrm d\nu \mathrm d\mu = \iint\limits_{B A} f \mathrm d\mu \mathrm d\nu \label{3.5.11}
	\end{equation}
	\item\label{thm3.5.4.2} 反之, 如果 $f$ 是 $E$ 上关于 $(X \times Y,\mathbf S \times\mathbf T)$ 可测函数, 而且 $|f|$ 的两个二次积分 $\iint\limits_{A B} |f| \mathrm d\nu \mathrm d\mu$, $\iint\limits_{B A} |f| \mathrm d\mu \mathrm d\nu$ 中有一个存在, 那么它的另一个二次积分以及二重积分 $\int_{E} f \mathrm d\mu \times \nu$ 也存在, 并且 \eqref{3.5.11} 成立. 
\end{enumerate}
\end{theorem}

\begin{proof}
先对 $\mu(A) < \infty$, $\nu(B) < \infty$ 的情况来加以证明, 并且不妨假设 $A = X, B = Y$. 不然考虑 $(A,\mathbf S \cap A, \mu_A), (B,\mathbf T \cap B, \nu_B)$ 的乘积空间 $(A \times B, (\mathbf S \cap A) \times (\mathbf T \cap B), \mu_A \times \nu_B)$ 就可以了, 其中 $\mu_A, \nu_B$ 是把 $\mu, \nu$ 分别限制在 $A, B$ 上的测度. 
\begin{enumerate}
	\item[\ref{thm3.5.4.1}] 第一步, 假设 $f$ 是 $(X \times Y, \mathbf S \times\mathbf T)$ 上某个可测集 $E$ 的特征函数 $\chi_E$. 根据 $\mu \times \nu$ 的定义, 显然
	\begin{equation}
		\int_{X \times Y} \chi_E \mathrm d\mu \times \nu = \mu \times \nu (E) = \int_{X} \nu(E_x) \mathrm d\mu = \iint\limits_{X Y} \chi_E(x,y) \mathrm d\nu(y) \mathrm d\mu(x) \label{3.5.12}
	\end{equation}
同样可证 $\chi_E$ 的积分也等于另一个二次积分. 

第二步, 假设 $f$ 是 $(X \times Y,\mathbf S \times\mathbf T, \mu \times \nu)$ 上非负的可积函数. 这时, 对任何自然数 $k$, 记 $Z = X \times Y$, $E_{kn} = Z \left( \frac{n-1}{2^{k}} \leqslant f < \frac{n}{2^{k}} \right), n = 1, 2, \dots, 2^{2k}$. 显然 $\varphi_{k} = \sum\limits_{n=1}^{2^{2k}} \frac{n-1}{2^{k}} \chi_{E_{kn}}$ 是一列非负的有界函数, 而且 $\varphi_{k} \leqslant \varphi_{k+1}, k = 1, 2, \dots, \lim\limits_{k \to \infty} \varphi_{k}(x,y) = f(x,y)$. 由 Levi 引理
\begin{equation}
	\int_{X \times Y} f \mathrm d\mu \times \nu = \lim\limits_{k \to \infty} \int_{X \times Y} \varphi_{k} \mathrm d\mu \times \nu \label{3.5.13}
\end{equation}
利用 \eqref{3.5.12} 和积分的线性, 知道当 $x$ 固定时, $\varphi_{k}(x,y) = \varphi_{kx}(y)$ 是 $(Y,\mathbf T, \nu)$ 上可积函数, $\psi_{k}(x) = \int_Y \varphi_{k}(x,y) \mathrm d\nu(y)$ 是 $(X,\mathbf S, \mu)$ 上可积函数, 而且
\begin{equation}
	\int_{X \times Y} \varphi_{k} \mathrm d\mu \times \nu = \int_{X} \left( \int_{Y} \varphi_{k} \mathrm d\nu \right) \mathrm d\mu = \int_{X} \psi_{k} \mathrm d\mu \label{3.5.14}
\end{equation}
由于 $\{\psi_{k}\}$ 是非负, 有界函数的单调增加序列, 而且由 \eqref{3.5.13}、\eqref{3.5.14} 又有
\[
\lim\limits_{k \to \infty} \int_{X} \psi_{k} \mathrm d\mu = \int_{X \times Y} f \mathrm d\mu \times \nu
\]
由 Levi 引理, $\{\psi_{k}(x)\}$ (关于 $\mu$) 几乎处处收敛于可积函数 $\psi(x)$, 而且
\[
\int_{X} \psi \mathrm d\mu = \int_{X \times Y} f \mathrm d\mu \times \nu \tag{5.15}
\]
设 $E = \{x \in X \mid \psi(x) = \lim\limits_{k \to \infty} \psi_{k}(x) < \infty\}$, 固定 $x \in E$ 时, $\varphi_{kx}(y) = \varphi_{k}(x,y)$, $k=1,2,\dots$ 是 $(Y,\mathbf T,\nu)$ 上非负, 可积函数的单调增加序列, 并且
\[
\int_{Y} \varphi_{kx}(y) \mathrm d\nu(y) = \psi_k(x), \quad k=1,2,\dots,
\]
有上确界 $\psi(x) < \infty$, 因此再由 Levi 引理知道 $(\varphi_{kx}(y))$ 的极限函数 $f_x(y) = f(x,y)$ 是 $(Y,\mathbf T,\nu)$ 上可积函数, 而且
\[
\int_Y f(x,y) \mathrm d\nu(y) = \lim\limits_{k \to \infty} \int_Y \varphi_k(x,y) \mathrm d\nu(y) = \psi(x)
\]
所以 $\int_Y f(x,y) \mathrm d\nu(y)$ 几乎处处等于 $(X,\mathbf S,\mu)$ 上可积函数 $\psi(x)$. 而且由 \eqref{3.5.15} 得到
\begin{equation}
	\int_{X \times Y} f \mathrm d\mu \times \nu = \int_X \left( \int_Y f(x,y) \mathrm d\nu(y) \right) \mathrm d\mu(x) \label{3.5.16}
\end{equation}

第三步, 假设 $f$ 是一般可积函数. 这时只要对 $f^+, f^-$ 分别讨论, 因为 $$\int_Y f^+(x,y) \mathrm d\nu(y),\quad \int_Y f^-(x,y) \mathrm d\nu(y)$$ 都是 $(X,\mathbf S,\mu)$ 上的可积函数, 而且相应地 \eqref{3.5.16} 成立. 再利用积分 (重积分和二次积分) 的线性, 从 $f = f^+ - f^-$ 便得到 \eqref{3.5.16} 对一般的 $f$ 也成立. 

同样, 可以证明 $\int_X f(x,y) \mathrm d\mu(x)$ 是 $(Y,\mathbf T,\nu)$ 上可积函数, 而且
\[
\int_{X \times Y} f \mathrm d\mu \times \nu = \int_Y \left( \int_X f(x,y) \mathrm d\mu(x) \right) \mathrm d\nu(y)
\]
	\item[\ref{thm3.5.4.2}] (注意, 也假设 $\mu(X) < \infty, \nu(Y) < \infty$) 如果非负二元可测函数 $f$ 的一个二次积分——例如 $\int_Y \left( \int_X f \mathrm d\mu \right) \mathrm d\nu$ 存在, 这时, 对任何自然数 $N$, 作 $[f]_N = \min(N,f)$, 它便是有界的二元可测函数, 由于 $\mu \times \nu (X \times Y) < \infty$, 所以它的重积分存在. 由 \ref{thm3.5.4.2} 及 $[f]_N \leqslant f$ 便得到
	\begin{equation}
		\int_{X \times Y} [f]_N \mathrm d\mu \times \nu = \int_Y \left( \int_X [f]_N \mathrm d\mu \right) \mathrm d\nu \leqslant \int_Y \left( \int_X f \mathrm d\mu \right) \mathrm d\nu \label{3.5.17}
	\end{equation}
由 \eqref{3.5.17}, $\{[f]_N\}$ 的重积分序列有上界. 对二元函数列 $\{[f]_N\}$ 应用 Levi 引理, 便得到 $[f]_N(x,y)$ 的极限函数 $f(x,y)$ 的重积分存在. 再由 \ref{thm3.5.4.1}, 另一个二次积分 $$\int_X \left( \int_Y f(x,y) \mathrm d\nu(y) \right) \mathrm d\mu(x)$$ 也就存在了, 并且二次积分等于重积分. 

对于一般的二元可积函数 $f$, 分成 $f^+, f^-$ 来讨论就行了. 这样, 在 $\mu(X) < \infty, \nu(Y) < \infty$ 情况下证明了 \ref{thm3.5.4.2}. 

对于一般情况, 即对于 $E = A \times B$ 是 $\sigma$-有限的情况. 容易知道, 存在 $\{A_n\} \subseteq\mathbf S, \{B_n\} \subseteq\mathbf T, \mu(A_n) < \infty, \nu(B_n) < \infty$, 且 $A_i \cap A_j = \varnothing, B_i \cap B_j = \varnothing (i \neq j), \bigcup\limits_{i=1}^{\infty} A_i = A, \bigcup\limits_{i=1}^{\infty} B_i = B$. 因此 $E = \bigcup\limits_{i,j} A_i \times B_j$, 并且 $$(A_i \times B_j) \cap (A_k \times B_l) = \varnothing,$$只要 $i \neq k, j \neq l$ 中有一个成立. 在每个 $A_i \times B_j$ 上定理的结论已成立. 再利用积分 (重积分和二次积分中的每次积分) 的可列可加性不难证明定理的结论在 $E$ 上也成立. 希望读者自己完成这部分证明. 
\end{enumerate}
\end{proof}

\begin{corollary}\label{coro3.5.4}
设 $E$ 是 $(X \times Y,\mathbf S \times\mathbf T, \mu \times \nu)$ 的 $\mu \times \nu$-零集, 那么对几乎所有的 $x$, 截口 $E_x$ 是 $(Y,\mathbf T, \nu)$ 上的零集. 对几乎所有的 $y$, 截口 $E^y$ 是 $(X,\mathbf S, \mu)$ 上的零集. 
\end{corollary}

\begin{proof}
由于 $E \in\mathbf S \times\mathbf T$, 所以必有可测矩形 $A \times B$, 使得 $E \subseteq A \times B$, 并且 $A, B$ 分别是 $\mu, \nu$ 的 $\sigma$-有限集. 又由于 $E$ 是零集, 所以它的特征函数 $\chi_E(x,y)$ 在 $A \times B$ 上的重积分为零, 由 Fubini 定理和
\[
\nu(E_x) = \int_B \chi_E(x,y) \mathrm d\nu(y), \quad \mu(E^y) = \int_A \chi_E(x,y) \mathrm d\mu(x)
\]
得到
\[
0 = \mu \times \nu(E) = \int_A \nu(E_x) \mathrm d\mu(x) = \int_B \mu(E^y) \mathrm d\nu(y)
\]
因为被积函数 $\nu(E_x), \mu(E^y)$ 是非负的, 所以 $\mu \times \nu(E) = 0$ 的充要条件是 $\nu(E_x)$ 关于 $\mu$ 几乎处处为零或者 $\mu(E^y)$ 关于 $\nu$ 几乎处处为零.
\end{proof}

显然, Fubini 定理可以推广到多个测度空间 $(X_i, \mathbf S_i, \mu_i)$ $i=1,2,\dots,k$ 的乘积测度空间 $(X_1 \times \cdots \times X_k,\mathbf S_1 \times \cdots \times\mathbf S_k, \mu_1 \times \cdots \times \mu_k)$ 的情况, 这里不再讨论. 

此外, 读者还必须注意, Fubini 定理中 \ref{thm3.5.4.2} 的假设: $f$ 的绝对值函数 $|f|$ 是二次可积, 这个条件是不能换为仅仅 $f$ 的二次积分存在这个条件的 (可看下面的例 \ref{eg1}) . 甚至 $f$ 的两个二次积分均存在, 并且两个二次积分的值也相等, 也不能断言 $f$ 的重积分是存在的. 

\begin{example}\label{eg1}
设 $E = [-1,1] \times [-1,1]$, $\mu, \nu$ 都取为勒贝格测度. 作
\[
f(x,y) =
\begin{cases}
\frac{xy}{(x^2 + y^2)^2}, & x^2 + y^2 > 0 \\
0, & x = y = 0
\end{cases}
\]
容易知道 $f(x,y)$ 是 $E$ 上勒贝格 (二重) 可测的. 如果将两个变量 $x,y$ 中的一个固定, $f(x,y)$ 是另一个变量的连续函数, 所以积分
\[
\int_{-1}^1 \frac{xy}{(x^2 + y^2)^2} \mathrm dy, \quad \int_{-1}^1 \frac{xy}{(x^2 + y^2)^2} \mathrm dx
\]
存在, 由于被积函数是奇的, 所以上面积分都为零. 由此得到
\[
\int_{-1}^1 \left( \int_{-1}^1 \frac{xy}{(x^2 + y^2)^2} \mathrm dx \right) \mathrm dy = \int_{-1}^1 \left( \int_{-1}^1 \frac{xy}{(x^2 + y^2)^2} \mathrm dy \right) \mathrm dx = 0
\]
但 $f(x,y)$ 在 $E$ 上并不是勒贝格可积的. 不然的话, 由于在 $E$ 上可积性, 便得到了在 $[0,1] \times [0,1]$ 上也应该可积, 于是二次积分
\[
\int_{0}^{1} \left( \int_{0}^{1} \frac{xy}{(x^{2}+y^{2})^{2}} \mathrm dy \right) \mathrm dx
\]
就应该存在. 但这是不对的, 因为当 $x \neq 0$ 时, 
\[
\int_{0}^{1} \frac{xy}{(x^{2}+y^{2})^{2}} \mathrm dy = \frac{1}{2x} - \frac{x}{2(x^{2}+1)}
\]
它在 $[0,1]$ 上不是勒贝格可积函数. 
\end{example}

\end{document}